Matematica discreta Esempi

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

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Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $e^{- x} \cdot \ln (x)$ è indefinita.

$x \leq 0$

Passaggio 1.2

Poiché $e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Calcola $lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi $e^{- x} \ln (x)$ come $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.3.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.3.2.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 1.3.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 1.3.2.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 1.3.2.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Passaggio 1.3.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 1.3.2.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Passaggio 1.3.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x e^{x}}$ tende a $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

Passaggio 2.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 2.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Converti $0$ in decimale.

$y = 0$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

Passaggio 3.2.3

$\frac{1}{e^{2}}$ e $\ln (2)$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Passaggio 3.3

Converti $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ in decimale.

$y = 0.09380727$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{e^{3}}$ e $\ln (3)$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Passaggio 4.3

Converti $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ in decimale.

$y = 0.05469668$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 0$ e i punti $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Asintoto verticale: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Passaggio 6